definition

Definición

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina «matriz m por n»  (escrito m x n ) donde m, n ∈ N – {0}. El conjunto de las matrices de tamaño m x n se representa como M _mxn (K), donde K es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones. A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila i - ésima y la columna j - ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Dos matrices A, B ∈ M _mxn (K) son iguales si los elementos correspondientes son iguales, es decir,  a _ij = b _ij, 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Para definir el concepto de matriz, el término "arreglo bidimensional" es útil, aunque poco formal, pero puede formalizarse usando el concepto de función. De este modo, una matriz de m filas y n columnas con entradas en un campo K es una función cuyo dominio es el conjunto de los pares ordenados (i, j), donde 1 ≤ i ≤ m  y 1 ≤ j ≤ n, y cuyo contradominio es K. Con esta definición, la entrada i, j es el valor de la función en el par ordenado (i, j). 

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.​ Por ejemplo, al elemento de una matriz A de tamaño m x n que se encuentra en la fila i - ésima y la columna j - ésima se le denota como a_ij, donde 1 ≤ i ≤ m  y 1 ≤ j ≤ n.

Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cual está indexada con un i  o un j con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz  A  de tamaño 50 x 100  se representa como a_1,2  mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como a_23,100.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así A  es una matriz, mientras que A es un escalar en esa notación. Sin embargo esta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer esta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. A:= (a _i,j) o incluso A := a _i,j.

Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño 1 x n  mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño m x 1.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota M_n (R)

Ejemplo:

Dada la matriz A ∈ M _4x3 (K)

Matriz de 4 filas y 3 columnas

Es una matriz de tamaño 4 x 3. La entrada a ₂₃ es 7.

La matriz R ∈ M _{1 x 9} (K)

R = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]

es una matriz de tamaño  1 x 9: un vector fila con 9 entradas.