Tema: Matrices

"Matrices"

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Introducción

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Matriz

Los elementos individuales de una matriz ${\displaystyle m}$m x ${\displaystyle n}$n, se denotan a menudo por ${\displaystyle a_{ij}}$a_ij, donde el máximo valor de ${\displaystyle i}$i  es ${\displaystyle m}$m, y el máximo valor de ${\displaystyle j}$j  es ${\displaystyle n}$n. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dadas una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=PXboI-Fogbg

Definición

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina «matriz m por n»  (escrito m x n ${\displaystyle m\times n}$) donde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} -\{0\}}$m, n ∈ N – {0}. El conjunto de las matrices de tamaño ${\displaystyle m\times n}$m x n se representa como ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}$M _mxn (K), donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$K es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones. A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila ${\displaystyle i-\,\!}$i - ésima y la columna ${\displaystyle j-\,\!}$j - ésima se le llama entrada ${\displaystyle i,j\,\!}$i,j o entrada ${\displaystyle (i,j)\,\!}$(i,j)-ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Dos matrices ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbb {K} )}$A, B ∈ M _mxn (K) son iguales si los elementos correspondientes son iguales, es decir,  a _ij = b _ij, 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Para definir el concepto de matriz, el término "arreglo bidimensional" es útil, aunque poco formal, pero puede formalizarse usando el concepto de función. De este modo, una matriz de m filas y n columnas con entradas en un campo $${\displaystyle \mathbb {K} }K es una función cuyo dominio es el conjunto de los pares ordenados (i, j), donde 1 ≤ i ≤ m  y 1 ≤ j ≤ n, y cuyo contradominio es $${\displaystyle \mathbb {K} }K. Con esta definición, la entrada i, j es el valor de la función en el par ordenado (i, j). ${\displaystyle a_{ij}=b_{ij},1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minúsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subíndices que refieren al número de fila y columna del elemento.⁴​Por ejemplo, al elemento de una matriz A de tamaño m x n que se encuentra en la fila i - ésima y la columna j - ésima se le denota como a_ij, donde 1 ≤ i ≤ m  y 1 ≤ j ≤ n.

Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cual está indexada con un ${\displaystyle i\,\!}$i  o un ${\displaystyle j\,\!}$j con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz ${\displaystyle A\,\!}$ A  de tamaño ${\displaystyle 50\times 100}$50 x 100  se representa como ${\displaystyle a_{1,2}\,\!}$a_1,2  mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como ${\displaystyle a_{23,100}\,\!}$a_23,100.

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así ${\displaystyle \mathbf {A} }$A  es una matriz, mientras que ${\displaystyle A\,\!}$A es un escalar en esa notación. Sin embargo esta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer esta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. ${\displaystyle A:=(a_{ij})\,\!}$A:= (a _i,j) o incluso ${\displaystyle A:=a_{ij}\,\!}$A := a _i,j.

Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño ${\displaystyle 1\times n}$1 x n  mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño ${\displaystyle m\times 1}$m x 1.

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}$M_n (R)

Ejemplo:

Dada la matriz A ∈ M _4x3 (K)

Matriz de 4 filas y 3 columnas

Es una matriz de tamaño {\displaystyle 4\times 3}4 x 3. La entrada {\displaystyle a_{23}\,\!}a ₂₃ es 7.

La matriz {\displaystyle R\in {\mathcal {M}}_{1\times 9}(\mathbb {K} )}R ∈ M _{1 x 9} (K)

R = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]

es una matriz de tamaño  1 x 9: un vector fila con 9 entradas.

 

La notación común para las matrices utiliza una letra negrita para la matriz, e identifica sus elementos en términos de filas y columnas de la matriz. Los elementos normalmente se especifican por subíndices a_rc con el subíndice de fila (r) primero.

 

Una notación abreviada para las matrices seria:

Aritmética matricial

Suma

Sean {\displaystyle A,B\in {\mathcal {M}}_{n\times m}(\mathbb {K} )}A, B ϵ M _nxm (K)

Lo que se debe realizar es verificar que ambas matrices contenga la misma cantidad de filas y columnas, de lo contrario no se va a poder realizar la suma.

Se debe sumar  los elementos de la matriz A con los elementos de la matriz  B. Columna 1 con columna 1, fila 1 con fila 1, fila 2 con fila 2, fila 3 con fila 3 y fila 4 con fila 4.

2 + 0 = 2

3 + 1 = 4

2 + 2 = 4

2 + 0 = 2

Propiedades de suma de matrices

Asociativa

(A + B) + C = A + (B + C)

Conmutativa

(A + B) = (B + A)

Elemento neutro

A + 0 = 0 + A = A

Existencia del inverso aditivo

Existe D ϵ M _nxm (K) tal que

A + D = 0

A esta matriz D se le denota por -A

vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=3iHxrb4sy8s

Multiplicación de Matrices

En las aplicaciones de matrices se invoca a menudo la multiplicación de dos matrices, la cual requiere de reglas de combinación de los elementos de las matrices. Utilizando una sola letra mayúscula negrita para representar matrices, la multiplicación se puede escribir:

En la práctica habitual se utiliza letras minúsculas para los elementos de las matrices, con dos subíndices en orden, especificando la fila y la columna. Con ello, este proceso de multiplicación de matrices para matrices de 3x3 puede ser representado como:

La multiplicación de matrices consiste en encontrar los elementos cij de la matriz producto mediante la aplicación de una norma específica, que implica la multiplicación de los elementos de la fila iésima de la matriz A, por los elementos de la columna jésima de la matriz B. Puesto que esto es suficientemente confuso, puede ayudar a representar visualmente el proceso según sigue:

Las operaciones que se realizan en el cálculo del producto de dos matrices son las mismas que las realizadas en la formación de un producto escalar de dos vectores. Podría ser útil pensar en el proceso de la formación del elemento cjk tomando el producto escalar de la fila j de A por la columna k de B.

Dada la naturaleza del producto de matrices, se define solamente si el número de filas en la matriz B es el mismo que el número de columnas de la matriz A. Cuando se forma el producto matricial AB, la matriz del producto tendrá el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B, como se ilustra a continuación.

Las áreas sombreadas son un recordatorio de que la fila j-ésima de la matriz A y la columna k-ésima de la matriz B se combinan para producir el valor del coeficiente cjk en la matriz C del producto.

Vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=G0SgeWl0Z-c

Matriz de identidad

Una matriz identidad o unidad de orden n es una matriz cuadrada donde todos sus elementos son ceros (0) menos los elementos de la diagonal principal que son unos (1). 

En otras palabras, una matriz identidad solo tiene unos (1) en la diagonal principal y todos los demás elementos de la matriz con ceros (0). Además, la matriz identidad se reconoce por tener forma a cuadrado dado que es una matriz cuadrada. 

Podemos crear infinitas combinaciones de matrices unidad siempre y cuando respetemos la condición de ser una matriz cuadrada: tener el mismo número de filas (n) y de columnas (m). 

Propiedades

Consejo: Debemos pensar en la matriz identidad como si fuera el número uno (1).

Número 1:

Cuando multiplicamos por uno (1) cualquier otro número nos queda el mismo número (neutralidad). Dada una constante z o escalar cualquiera:  

·         Si hacemos el inverso del número uno (1), obtendremos el mismo número uno (1) (inversible).

Cuando elevamos el número uno (1) h unidades, siempre nos quedará el número uno (1) (idempotencia).

Ahora es hora de aplicar ese consejo!

Neutralidad. Cuando la matriz unidad participa en una multiplicación de matrices, se dice producto neutro. Dada una matriz Z cualquiera:

Inversible. La matriz inversa de la matriz unidad es la matriz identidad: 

Idempotencia. La matriz inversa elevada h unidades (número natural) sigue siendo la matriz unidad: 

 

Procedimiento para identificar una matriz identidad

1.    La matriz tiene que ser una matriz cuadrada.

2.    La matriz debe tener unos (1) en la diagonal principal y ceros (0) en las otras posiciones. 

Aplicaciones

La matriz identidad participa en tantas ocasiones como el número uno (1) participa en álgebra. Por ejemplo, cuando multiplicamos una matriz cualquiera con su matriz inversa, obtendremos la matriz unidad.  

Ejemplo teórico 

Ejemplos de matrices identidad y matrices no identidad.

Matriz IA:

·         Matriz cuadrada.

·         No matriz identidad: en la diagonal principal hay un número distinto a uno (1) y en las demás posiciones hay un número distinto a cero (0). 

Matriz IB:  

·         No matriz cuadrada.

·         No matriz identidad. 

Matriz IC: 

·         No matriz cuadrada. 

·         No matriz identidad. 

Matriz ID: 

·         Matriz cuadrada. 

·         Matriz identidad: en la diagonal principal hay unos (1) y en las demás posiciones hay ceros (0).

Matriz IE: 

·         Matriz cuadrada. 

·         No matriz identidad: aunque en las demás posiciones hay ceros (0), en la diagonal principal hay un número distinto a uno (1). 

Vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=FkhWrdv-SQQ  

Matriz transpuesta

La matriz traspuesta de una matriz A se denota por A^T y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa).

Obsérvese, por ejemplo, que la primera fila de la matriz A es (1,0,4). Esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta.

Definición formal

Sea A una matriz de dimensión mxn, denotamos al elemento de la fila i y columna j como A(i,j), siendo i<m y j<n. Entonces, se define la matriz traspuesta de A como la matriz A^T de dimensión nxm tal que A^T (j, i) = A (i, j), siendo i<m y j<n.

Propiedades de la matriz traspuesta

• Traspuesta de la traspuesta 
• Traspuesta de la suma 
• Traspuesta del producto 
• Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica 
• El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta 
• Si A es regular, su inversa es la transpuesta de su matriz adjunta (Adj(A)) entre su determinante: 

 

La traspuesta A^T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A^T)^T = A.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada {\displaystyle A}A es simétrica si coincide con su traspuesta:

{\displaystyle A^{t}=A\,}A^t = A

Una matriz cuadrada {\displaystyle A}A es anti simétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

{\displaystyle A^{t}=-A\,}A^t = -A

Si los elementos de la matriz {\displaystyle A}A son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermética.

y anti hermética si

Vale la pena observar que si una matriz es hermética (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus auto valores son reales. (El recíproco es falso).

Vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=k6Kgxavyhhg