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Transposed matrix

Matriz transpuesta

La matriz traspuesta de una matriz A se denota por AT y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa).

Obsérvese, por ejemplo, que la primera fila de la matriz A es (1,0,4). Esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta.

Definición formal

Sea A una matriz de dimensión mxn, denotamos al elemento de la fila i y columna j como A(i,j), siendo i<m y j<n. Entonces, se define la matriz traspuesta de A como la matriz AT de dimensión nxm tal que A(j, i) = A (i, j), siendo i<m y j<n.

Propiedades de la matriz traspuesta

  • Traspuesta de la traspuesta 
  • Traspuesta de la suma 
  • Traspuesta del producto 
  • Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica 
  • El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta 
  • Si A es regular, su inversa es la transpuesta de su matriz adjunta (Adj(A)) entre su determinante: 

 

La traspuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su traspuesta:

At = A

Una matriz cuadrada A es anti simétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

A= -A

Si los elementos de la matriz A son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermética.

y anti hermética si

Vale la pena observar que si una matriz es hermética (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus auto valores son reales. (El recíproco es falso).

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