Matriz transpuesta
La matriz traspuesta de una matriz A se denota por AT y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa).
Obsérvese, por ejemplo, que la primera fila de la matriz A es (1,0,4). Esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta.
Definición formal
Sea A una matriz de dimensión mxn, denotamos al elemento de la fila i y columna j como A(i,j), siendo i<m y j<n. Entonces, se define la matriz traspuesta de A como la matriz AT de dimensión nxm tal que AT (j, i) = A (i, j), siendo i<m y j<n.
Propiedades de la matriz traspuesta
- Traspuesta de la traspuesta
- Traspuesta de la suma
- Traspuesta del producto
- Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica
- El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta
- Si A es regular, su inversa es la transpuesta de su matriz adjunta (Adj(A)) entre su determinante:
La traspuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.
Definiciones asociadas
Una matriz cuadrada A es simétrica si coincide con su traspuesta:
At = A
Una matriz cuadrada A es anti simétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.
At = -A
Si los elementos de la matriz A son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermética.
y anti hermética si
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